高中一道数学题 谢谢!

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  • 已知a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边,且a²+c²-b²=ac.

    ①求角B的大小;

    ②若c=3a,求tanA的值.

    ∵cos2B=3cosAcosC-3sinAsinC+1 即cos2B=3(cosAcosC-A+CsinAsinC)+1

    亦即cos2B=3cos(A+C)+1 ∴2cosB的平方-1=1-3cosB 解得cosB=1/2

    ∵0≤B≤180 ∴B =60

    (1)A=30 B =60 ∴C =90 c为最大边 且c=1 a为最小边 且a=1/2

    (2)∵b的平方=a的平方+c的平方-2ac*cosB ∴1=a的平方+c的平方-2ac*1/2

    ∴a的平方+c的平方= 1+ac ∵a、c是正数 ∴a的平方+c的平方≥2ac

    ∴ 1+ac≥2ac ∴ac≤1 ∴S△=二分之一*sinB*ac

    ∵B =60 ∴S△=二分之一*sin60*ac≤四分之根号下三

    ∴三角形ABC面积的最大值为四分之根号下三