Question

求自然数N，使得它能倍5和49整除，并且有10个约数（包括1和本身）

Answer 1

解题思路：设N=5×49×M，则N=5×72×M，所以5的个数至少是2个，7的个数至少是3个，这时由5和7组成的约数的个数是：2×3=6，不是10的因数，所以需要再把7的因数的总个数由3个变为5个，因此，M=72，这时N=5×72×72=N=5×74，那么N的约数的个数是：（1+1）÷（4+1）=10；符合要求，所以N=5×74=12005；据此解答．

根据分析可得，

设N=5×49×M，则N=5×7²×M，

所以5的个数至少是2个，7的个数至少是3个，这时由5和7组成的约数的个数是：2×3=6，不是10的因数，

所以需要再把7的因数的总个数由3个变为5个，

因此，M=7²，这时N=5×7²×7²=N=5×7⁴，

那么N的约数的个数是：（1+1）÷（4+1）=10；符合要求，

所以，N=5×7⁴=12005．

点评：

本题考点： 约数个数与约数和定理．

考点点评： 此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式的逆用：a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．