Question

如图，A、B、C、D是圆周上的四个点，AB+CD＝AC+BD，且弦AB=8，弦CD=4，则图中两个弓形（阴影）的面积和是

Answer 1

解题思路：易得弧AB，CD是一个半圆弧，我们将C点转到与A点重合处，那么O、B、D′就在一条直线上，而且是一直径，所以阴影部分的面积=半圆的面积-一个直角三角形的面积，然后依面积公式计算即可．

∵

AB+

CD＝

AC+

BD，

∴弧AB，CD就是一个半圆弧，

则B、O、D′就在一条直线上，而且BD′是一直径，

∴∠D′AB=90°，弧AD′=弧CD，

∴AD′=CD=4，

在Rt△CAB中，由勾股定理得：BD′=

82+42=4

5，

∴OB=2

5，

∴阴影部分的面积=[1/2]S_⊙O-S_△D′AB

=π×（2

5）²×[1/2]-[1/2]×4×8

=15.4．

点评：

本题考点： 扇形面积的计算；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．

考点点评： 本题的关键是作辅助线，从图中看出阴影部分的面积=半圆的面积-一个直角三角形的面积．