方法一：
令x+2006=0 x=-2006
令x-2007=0 x=2007
令x-2008=0 x=2008
当x≤-2006时,原式=2006-x+2007-x+2008-x=6021-3x
当-2006＜x＜2007时,原式=x-2006+2007-x+2008-x=2009-2x
当2007≤x＜2008时,原式=x-2006+x-2007+2008-x=-2005+x
当2008≤x时,原式=x-2006+x-2007+x-2008=3x-6021
通过比较当x=2007时最小,为4014
方法二：
当X≤-2006时,原式=-X-2006+2007-X+2008-X=-3X+2009,则当X=-2006时,式子取得最小值8027；
当-2006≤X≤0时,原式=2006+X+2007-X+2008-X=-X+6021,则当X=0时,式子取得最小值6021；
当0≤X≤2007时,原式=2006+X+2007-X+2008-X=-X+6021,则当X=2007时,式子取得最小值4014；
当2007≤X≤2008时,原式=2006+X+X-2007+2008-X=X+2007,则当X=2007时,式子取得最小值4014；
当2008≤X时,原式=2006+X+X-2007+X-20083X-2009,则当X=2008时,式子取得最小值4015；
综上所述,当X=2007时,式子取得最小值;4014