Question

如图，线段AB的长度为1． （1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC•AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上

Answer 1

解题思路：（1）设AC=x，则BC=AB-AC=1-x，x²=1×（1-x），整理得x²+x-1=0，然后解方程即可；

（2）设线段AD的长度为x，AC=l，则x²=l×（l-x），然后解方程；

（3）与（2）的解法一样．

利用黄金分割的定义总结规律．

（1）设AC=x，则BC=AB-AC=1-x，

∵AC²=BC•AB，

∴x²=1×（1-x），

整理得x²+x-1=0，

解得x₁=

5-1

2，x₂=

-

5-1

2（舍去），

所以线段AC的长度为

5-1

2；

（2）设线段AD的长度为x，AC=l，

∵AD²=CD•AC，

∴x²=l×（l-x），

∴x₁=

-1+

5

2，x₂=

-1-

5

2（舍去），

∴线段AD的长度

5-1

2AC；

（3）同理得到线段AE的长度

5-1

2AD；

上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），则C点为AB的黄金分割点．

点评：

本题考点： 黄金分割．

考点点评： 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点；其中AC=5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．