解题思路：对函数f（x）求导，利用f′（x）判定f（x）在（0，+∞）上的增减性，从而判定①、②是否正确；由奇偶性的定义判定③、④是否正确；
∵函数f(x)＝x2+
a
x (a∈R)，
∴f′（x）=2x-[a
x2=
2x3−a
x2，显然x∈（0，+∞）时，对任意的a∈R，2x3-a≥0不恒成立，即f′（x）≥0不恒成立，f（x）在（0，+∞）上不恒为增函数，①不正确；
也不存在a∈R，使2x3-a≤0在x∈（0，+∞）时恒成立，即f′（x）≤0不恒成立，∴②不正确；
当a=0时，f（x）=x2是R上的偶函数，∴③正确；
∵f（-x）+f（x）=（-x）2+
a/−x]+x2+[a/x]=2x2∴不存在a∈R，使f（x）是奇函数，∴④不正确；
综上，正确的结论只有一个；
故选：B．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合．
考点点评： 本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定问题，是基础题中的易错题．