Question

已知函数f（x）=x 4 -2ax 2 ．

Answer 1

（I）要证x ⁴-2ax ²=1的实根，

设t=x ²，也就是证明方程t ²-2at=1有非负实数根．

而△=4a ²+4＞0，故可设t ²-2at-1=0的两根为t ₁，t ₂．

t ₁t ₂=-1，∴t ₁，t ₂一正一负，

∴方程有正根

∴方程f（x）=1有实根；

（II）由题设知对任意的x∈[0，1]时，

h′（x）=f′（x）-1=4x ³-4ax-1≤0恒成立，

x=0时显然成立；

对任意的0＜x≤1，a≥x ²-

1

4x ，∴a≥（x ²-

1

4x ）max

而g（x）=x ²-

1

4x 在（0，1]上单调增，

∴a≥f（1）=

3

4 ，

∴a的取值范围为[

3

4 ，+∞）．

（III）由题设知，当x∈[0，1]时，|4x ³-4ax|≤1恒成立

记F（x）=4x ³-4ax

若a≤0则F（1）=4-4a≥4，不满足条件；

若a＞0则F′（x）=12x ²-4a=12（x-

a

3 ）（x+

a

3 ）

①当

a

3 ＜1即0＜a＜3时，F（x）在[0，

a

3 ]上递减，在[

a

3 ，1]上递增，

于是，|F（x）|max=max{-F（

a

3 ），F（1）}=max{

8a

3

a

3 ，4-4a}≤1

解之得：a=

3

4

②当

a

3 ≥1即a≥3时，F（x）在[0，1]上递减，于是|F（x）|max=-F（1）=4-4a≥8，与题意矛盾．

综上所述：a=

3

4 ．