解题思路:利用特殊值法可以解决,分别分析当x=0时,当x=1时,代入已知式子,求出(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n的值,a0+a1x+a2x2+…+anxn=a0,进而得出a0+a1x+a2x2+…+anxn=a0+57=n+57=2+22+23+…+2n,从而得出答案.
当x=0时,
∴(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=1+1+1+1+…+1=n,
a0+a1x+a2x2+…+anxn=a0,
∴a0=n,
当x=1时,
∴(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=2+22+23+…+2n,
a0+a1x+a2x2+…+anxn=a0+a1+a2+…+an,
∵a1+a2+a3+…+an=57,
∴a0+a1x+a2x2+…+anxn=a0+57=n+57=2+22+23+…+2n,
∴只有n=5时,2+22+23+…+2n=2+4+8+16+32=62=57+n,
∴满足条件的n的可能值是5.
故答案为:5.
点评:
本题考点: 整数问题的综合运用.
考点点评: 此题主要考查了整数问题的综合应用,利用当x=0与当x=1时,将已知条件变形得出a0+a1x+a2x2+…+anxn=a0+57是解决问题的关键.