Question

（2014•凉山州模拟）设函数f（x）=lnx，g（x）=[a/x(a＞0)．

Answer 1

（1）a=2时，g（x）=

2

x]，∴h（x）=lnx+[2/x] （x＞0），

∴h′(x)＝

1

x−

2

x2＝

x−2

x2．

当0＜x＜2时，h′（x）＜0，

当x＞2，h′（x）＞0，

∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，

∴x=2时，h（x）取得最小值h（2）=ln2+1；

（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+

a

x (x＞0)，

∴h′(x)＝

1

x−

a

x2＝

x−a

x2(a＞0)，

当0＜x＜a时，h′（x）＜0，

当x＞a时，h′（x）＞0，

h（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，

∴h（x）的最小值为h（a），

∴要使h（x）在（0，+∞）上有两个不同的零点，则只需h（a）＜0，

∴lna+1＜0，即lna＜-1，

∴0＜a＜

1

e．

∴a的取值范围是（0，[1/e]）．