解题思路：（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式．
（2）首先由B、C的坐标求出直线BC的解析式以及∠CBO的度数，然后分别过C作y轴的垂线、过D作直线BC的垂线，通过构建的两个直角三角形，求出与tan∠DCB相关的两条直角边，由此得解．
（3）此题的情况较为复杂，但由于AB位于x轴上，所以总体上可分作两种情况：
①以AB为对角线，那么先找出AB的中点，由直线BC的解析式表示出点P的坐标，然后根据平行四边形的对称中心是两条对角线的交点（即AB的中点）表示出点Q的坐标，代入抛物线的解析式中，即可求出符合条件的P点坐标；
②以AB为边，那么PQ必与AB平行，及P、Q两点的纵坐标相同，首先表示出P点坐标，然后根据AB的长（PQ=AB）表示出点Q的坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标．
（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-4），代入点C坐标后，得：
a（-1-1）（-1-4）=5，解得 a=[1/2]
∴抛物线的解析式：y=[1/2]（x-1）（x-4）=[1/2]x2-[5/2]x+2．
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
4k+b=0
-k+b=5，解得
k=-1
b=4
∴直线BC：y=-x+4，则 E（0，4）．
过C作CF⊥y轴于F，过D作DG⊥BC于G，如右图；
在Rt△OBE中，OB=OE=4，所以∠OBE=∠OEB=∠CEF=45°；
在Rt△CEF中，∠CEF=45°，则 CF=EF=1，CE=
2；
在Rt△DEG中，∠DEG=45°，DE=4-2=2，EG=DG=
2；
在Rt△CDG中，CG=CE+EG=2
2，DG=
2，所以 tan∠DCB=[DG/CG]=[1/2]．
（3）假设存在符合条件的P、Q点，若以A、B、P、Q为顶点的四边形
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 该题考查的内容并不复杂，主要涉及到利用待定系数法确定函数解析式、解直角三角形以及平行四边形的判定和性质；但最后一题需要考虑的情况较多，能够根据平行四边形的性质准确找出P、Q点坐标间的关系，是突破此题的关键所在．