Question

已知定义在无穷区间上的可导函数,满足xf(x)-4∫1到xf(t)=x^3-3,求表达式

Answer 1

xf(x)-4∫(1,x)f(t)dx=x^3-3,令x=1得：f(1)=-2

两边对x求导得：xf‘(x)+f(x)-4f(x)=3x^2

或：f‘(x)-3f(x)/x=3x,由一阶线性方程的通解公式：

通解为：f(x)=Cx^3-3x^2

f(1)=-2代入得：C=1

f(x)=x^3-3x^2