其实只需证明k = √3/2与k = 2√3的情形:
(1) 1/2 ≤ x²+y²+z²+√3/2·√(xyz).
(2) x²+y²+z²+2√3·√(xyz) ≤ 1.
当0 < k ≤ √3/2时,x²+y²+z²+k√(xyz) = (1-2k/√3)(x²+y²+z²)+2k/√3·(x²+y²+z²+√3/2·√(xyz))
≥ (1-2k/√3)(x+y+z)²/3+2k/√3·(1/2) (前一项由Cauchy不等式,后一项由(1))
= (3+√3·k)/9.
当2√3 ≤ k时,x²+y²+z²+k√(xyz) = (x²+y²+z²+2√3·√(xyz))+(k-2√3)√(xyz)
≤ 1+(k-2√3)√((x+y+z)/3)³ (前一项由(2),后一项由均值不等式)
= (3+√3·k)/9.
而对√3/2 < k,由(1)有1/2 ≤ x²+y²+z²+√3/2·√(xyz) < x²+y²+z²+k√(xyz).
对k < 2√3,由(2)有x²+y²+z²+k√(xyz) < x²+y²+z²+2√3·√(xyz) ≤ 1.
综合起来就证明了1,2,3各情形.
(1)的证明(目前没想到好办法,用调整法):
由x+y+z = 1,不妨设z ≤ 1/3,对固定的z考虑:
2x²+2y²+2z²+√(3xyz) = 2(x+y)²-4xy+2z²+√(3z)·√(xy) = 2(1-z)²-4xy+2z²+√(3z)·√(xy).
其作为关于√(xy)的二次函数,对称轴为√(xy) = √(3z)/8.
由均值不等式√(xy) ≤ (x+y)/2 = (1-z)/2,知√(xy)的取值范围为(0,(1-z)/2].
而z ≤ 1/3,有√(3z)/8 ≤ 1/8 < 1/6 ≤ (1-z)/4.
因此该二次函数在区间(0,(1-z)/2]上的最小值在√(xy) = (1-z)/2处取得.
即2(1-z)²-4xy+2z²+√(3z)·√(xy) ≥ 2(1-z)²-(1-z)²+2z²+√(3z)·(1-z)/2
= 1-2z+3z²+√(3z)/2-z√(3z)/2.
设t = √(3z) > 0,换元z = t²/3得(2t^4-t³-4t²+3t)/6+1 = 1+t(t-1)²(2t+3)/6 ≥ 1.
即2x²+2y²+2z²+√(3xyz) ≥ 1,也即1/2 ≤ x²+y²+z²+√3/2·√(xyz).
(2)的证明用到一个简单的不等式.
由(a-b)²+(b-c)²+(c-a)² ≥ 0展开得a²+b²+c² ≥ ab+bc+ca.
进而得(a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca) ≥ 3(ab+bc+ca) (*).
x²+y²+z²+2√3·√(xyz)
= x²+y²+z²+2√(3xyz(x+y+z))
= x²+y²+z²+2√(3((xy)(yz)+(yz)(zx)+(zx)(xy)))
≤ x²+y²+z²+2√((xy+yz+zx)²) (在不等式(*)中取a = xy,b = yz,c = zx)
= x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)
= (x+y+z)²
= 1.