这么多数字相乘相加,如果采取笨方法,计算量很大.
我们把这7个数用X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7代表,我们要计算的是如下公式：
原式＝
﹝X1＋X2＋X3＋…＋X6＋X7﹞
＋﹝X1＊X2＋X1＊X3＋…＋X6＊X7﹞
＋﹝X1＊X2＊X3＋X1＊X2＊X4＋….＋X5＊X6＊X7﹞
＋﹝X1＊X2＊X3＊X4＋X1＊X2＊X3＊X5＋…＋X4＊ X5＊X6＊X7﹞
＋﹝X1＊X2＊X3＊X4＊X5＋ X1＊X2＊X3＊X4＊X6＋…＋X3＊X4＊X5＊X6＊X7﹞
＋﹝X1＊X2＊X3＊X4＊X5＊X6＋ X1＊X2＊X3＊X4＊X5＊X7 ＋…＋X2＊X3＊X4＊X5＊X6＊X7﹞
＋X1＊X2＊X3＊X4＊X5＊X6＊X7
我们看到,我们要求出7个数中,这七个数本身,任意两个数的乘积,任意三个数的乘积,….任意7个数的乘积,然后求和.
我们的重点是要构造一个公式,展开之后能够得到上述我们要计算的内容.根据经验,我们构造了以下的公式：
﹝1＋X1﹞＊﹝1＋X2﹞＊﹝1＋X3﹞＊﹝1＋X4﹞＊﹝1＋X5﹞＊﹝1＋X6﹞＊﹝1＋X7﹞
为了理解简便,我们从两个数X1,X2开始推导,得出三个数X1,X2,X3的公式
﹝1＋X1﹞＊﹝1＋X2﹞ ＝ 1＋X1＋X2＋X1＊X2
﹝1＋ X1﹞＊﹝1＋X2﹞ ＊﹝1＋X3﹞＝ ﹝1＋X1＋X2＋X1＊X2﹞＊﹝1＋X3﹞ ＝ 1＋X1＋X2＋X3＋X1＊X2＋X1＊X3＋X2＊X3＋X1＊X2＊X3
看起来非常不错,只是多了常数 1.
根据以上推导（你也可以继续推导一下四个数的情况）,我们可以得出如下结论.
﹝1＋X1﹞＊﹝1＋X2﹞＊﹝1＋X3﹞＊﹝1＋X4﹞＊﹝1＋X5﹞＊﹝1＋X6﹞＊﹝1＋X7﹞
＝1＋原式
我们将-3,-2,-1,1,2,3,4代入X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7
等式左边
＝ ﹝1－3﹞＊﹝1－2﹞＊﹝1－1﹞＊﹝1＋1﹞＊﹝1＋2﹞＊﹝1＋3﹞＊﹝1＋4﹞＝ 0
等式右边
＝ 1＋ 原式
0＝1＋原式
原式＝ －1