解题思路:(1)a=4时,f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),由此利用导数性质能求出f(x)的单调区间.
(2)由f(x)在x=-1处取得极值,求出f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),由此求出f(x)极小值=f(1)=-3,f(x)极大值=f(-1)=1,再由直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,能求出m的取值范围是(-3,1).
(1)a=4时,f(x)=x3-12x-1,
∴f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),
由f′(x)<0,得-2<x<2,
由f′(x)>0,得x<-2或x>2,
∴f(x)的减区间是(-2,2);f(x)的增区间是(-∞,-2),(2,+∞).
(2)∵f(x)=x3-3ax-1,a>0,
∴f′(x)=3x2-3a,
∵f(x)在x=-1处取得极值,
∴f′(-1)=3-3a=0,解得a=1,
∴f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
由由f′(x)<0,得-1<x<1,
由f′(x)>0,得x<-1或x>1,
∴f(x)的减区间是(-1,1);f(x)的增区间是(-∞,-1),(1,+∞).
∴f(x)极小值=f(1)=-3,f(x)极大值=f(-1)=1,
∵直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,
∴m的取值范围是(-3,1).
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查函数的极大值和极小值的求法,考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.