Question

如图，F1、F2为椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点，P为椭圆上一点，且位于x轴上方，过点P作x轴的平行

Answer 1

解题思路：（1）先设P（x₀，y₀），利用椭圆的几何性质及平行四边形的性质得出P点横坐标的表达式，再结合椭圆的范围得出关于a，c的不等关系，即可求出椭圆的离心率e的取值范围；

（2）①根据椭圆的两种定义方法，构造关于离心率的关系式，即可求出答案；

②先写出以F₁A为直径的圆方程，再证B（0，b）满足方程即可．

（1）设P（x₀，y₀），则M(

a2

c，y0)，

∵|PM|=|F₁F₂|=2c，

∴

a2

c−x0＝2c⇒x0＝

a2

c−2c，

由−a＜x0＜a⇒−a＜

a2

c−2c＜a⇒

1

2＜e＜1；

（2）①e＝

|PF2|

|PM|＝

2a−|PF1|

|F1F2|＝

2a−|F1F2|

|F1F2|＝

2a−2c

2c，⇒e＝

1

e−1⇒e＝

−1±

5

2，

∵0＜e＜1，∴e＝

−1+

5

2；

②以F₁A为直径的圆方程为（x+c）（x-a）+y²=0，

下证B（0，b）满足方程，即-ac+b²=0…（*），

∵e²+e-1=0，

∴c²+ac-a²=0，

∴ac=a²-c²=b²，∴（*）成立，

∴以F₁A为直径的圆经过点B．

点评：

本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了学生的运算能力．属中档题．