Question

（本小题满分14分）已知：有穷数列{a n }共有2k项（整数k≥2 ）,a 1 ="2" ,设该数列的前n项和为 S

Answer 1

（1）a _n=2·a ^n-1（n=1,2…，2k）；（2）T _n=n+

（a＞1,n=1,2，…，2k）（3）k≥6或k≤

（1）由S _n+1=aS _n+2（n=1,2，…，2k-1）（1）

S _n=aS _n-1+2（n=2,3,…，k） （2）……………………………2分

（1）-（2）得a _n+1=a·a _n（n=2,3，…，2k-1）

由（1）式S ₂=aS ₁+2，a ₁+a ₂=aS ₁+2……………………………………………………3分

解得a ₂=2a，因为

所以{a _n}是以2为首项，a为公比的等比数列，a _n=2·a ^n-1（n=1,2…，2k）…………4分

（2）∵b _n-b _n-1=log ₂a _n-log ₂a _n-1=log ₂a _n-1log ₂

=log ₂a（n=2,3…，2k）

∴{b _n}是以b ₁=1为首项，以log ₂a（a＞1）为公差的等差数列………………………6分

∴T _n=

=

=n+

（a＞1,n=1,2，…，2k）……………8分

（3）c _n=

=1+

=1+

（n=1，2，…，2k）……………………………10分

当c _n≤

时， n≤k+

，n为正整数,知n≤k时，c _n<

当n≥k+1时，c _n＞

……………………………………………………………………11分

=（

-c ₁）+（

-c ₂）+…+（

-c _k）+（c _k+1-

）+…+（c _{2 k}-

）

=（c _k+1+c _k+2+…+c _2k）-（c ₁+c ₂+…+c _k）

=

{［k+（k+1）+…+（2k-1）］+2k}-

{［1+2+…+（k-1）］+k}

=

［

-

］

=

≥

即11k ²-72k+3

6≥0,（11k-6）（k-6）≥0解得k≥6或k≤

所以满足条件的k的最小值为6…………………………14分