在等边三角形ABC中P为三角形内任意一点,AB=BC=CA=√(25+√12),CP^2=AP^2+BP^2,CP=5,

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  • 以PA为边作等边三角形PAQ,使P、Q在AC的两侧.

    ∵△ABC、△APQ都是正三角形,∴AB=AC、AP=AQ、∠BAC=∠PAQ=∠AQP=60°,

    ∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ,∴∠BAP=∠CAQ.

    由AB=AC、AP=AQ、∠BAP=∠CAQ,得:△ABP≌△ACQ,∴BP=CQ.

    ∵△APQ是正三角形,∴PQ=AP,又CQ=BP、CP^2=AP^2+BP^2,

    ∴CP^2=PQ^2+CQ^2,∴由勾股定理的逆定理,有:∠PQC=90°,而∠AQP=60°,

    ∴∠AQC=∠PQC+∠AQP=90°+60°=(180°-30°),∴cos∠AQC=-cos30°=-√3/2.

    由余弦定理,有:AQ^2+CQ^2-2AQ×CQcos∠AQC=AC^2,

    ∴AP^2+BP^2+√3AP×BP=25+√12=25+2√3,∴AP^2+BP^2+√3AP×BP=25+2√3,

    又AP^2+BP^2=CP^2=25,∴25+√3AP×BP=25+2√3,∴AP×BP=2.

    ∴AP^2+BP^2=(AP+BP)^2-2AP×BP=(AP+BP)^2-2×2=25,∴AP+BP=√29.

    ∵AP+BP=√29、AP×BP=2,

    ∴由韦达定理可知:AP、BP是方程x^2-√29x+2=0的两根,由求根公式,得:

    x=[√29+√(29-4×2)]/2=(√29-√21)/2、或x=(√28-√21)/2.

    ∴满足条件的AP、BP的长是:一者为(√29-√21)/2,另一者为(√28-√21)/2.