Question

（2011•上海二模）已知函数f（x）满足：①对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②当x∈（1，2]

Answer 1

解题思路：取x∈（2^m，2^m+1），则

x

2

m

∈（1，2]；f（

x

2

m

）=2-

x

2

m

，从而f（x）=2^m+1-x，根据f（2020）=f（a）进行化简，设a∈（2^m，2^m+1）则f（a）=2^m+1-a=28求出a的取值范围．

取x∈（2^m，2^m+1），则 [x

2m∈（1，2]；f（

x

2m）=2-

x

2m，从而

f（x）=2f（

x/2]）=…=2^mf（ [x

2m）=2^m+1-x，其中，m=0，1，2，…

f（2020）=2¹⁰f（

2020/1024]）=2¹¹-2020=28=f（a）

设a∈（2^m，2^m+1）则f（a）=2^m+1-a=28

∴a=2^m+1-28∈（2^m，2^m+1）

即m≥5即a≥36

∴满足条件的最小的正实数a是36

故答案为：36

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了计算能力，分析问题解决问题的能力，转化与划归的思想，属于中档题．