设定函数
,且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.
(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)在(﹣∞,+∞)无极值点,求a的取值范围.
由得f′(x)=ax 2+2bx+c
因为f′(x)﹣9x=ax 2+2bx+c﹣9x=0的两个根分别为1,4,
所以
(*)
(Ⅰ)当a=3时,又由
(*)式得 解得b=﹣3,c=12
又因为曲线y=f(x)过原点,所以d=0 故f(x)=x 3﹣3x 2+12x
(Ⅱ)由于a>0,所以“
在(﹣∞,+∞)内无极值点”
等价于“f′(x)=ax 2+2bx+c≥0在(﹣∞,+∞)内恒成立”.
由(*)式得2b=9﹣5a,c=4a.
又△=(2b) 2﹣4ac=9(a﹣1)(a﹣9)
解
得a∈[1,9]
即a的取值范围[1,9]