Question

已知abc均为正数,且a的平方加b的平方等于c的平方.求证当n为整数且大于2时c的n次方大于a的n次方加b的

Answer 1

证明：已知：a>0,b>0,c>0; a^2+b^2=c^2,以a,b,c构成一个三角形,其为一个直角三角形.

a,b为三角形的两条直角边,c>a,c>b ,c为直角三角形的斜边.

i.当n=3,有：c^3=c(a^2+b^2)=ca^2+cb^2>a^3+b^3 .(c>a,c>b)

ii.假设当n=k时,不等式c^k>a^k+b^k

iii.当n=k+1时,c^(k+1)=c*c^k>c(a^k+b^k)=ca^k+cb^k>a^(k+1)+b^(k+1)

即：当n=k+1时,c^(k+1)>a^(k+1)+b^(k+1)

根据归纳假设,当n=k时,结论成立,那n=k+1时,结论一定成立.

故：当n为整数且大于2时c的n次方大于a的n次方加b的n次方结论成立.