考虑数列a(n+1)={2a(n)+a/{[a(n)]^2}}/3的性质,其中a(1)>0,a>0,a为你想求立方根的数.
1.a(n)≥a的立方根对任意n≥2成立.
证明：
a(n+1)={2a(n)+a/{[a(n)]^2}}/3
={a(n)+a(n)+a/{[a(n)]^2}}/3
≥a的立方根（用基本不等式）
2.a(n+1)≥a(n)对任意n≥2成立.
证明：
a(n+1)-a(n)
={a/{[a(n)]^2}-a(n)}/3
={a-[a(n)]^3}/{3[a(n)]^2}
≤0（由1知a-[a(n)]^3≤0）
3.a(n)极限存在.
证明：
由1.a(n)有下界(n≥2),
由2.a(n)单调递减(n≥2),
故a(n)极限存在.
4.a(n)极限为a的立方根.
证明：
设a(n)极限为A
在递推式
a(n+1)={2a(n)+a/{[a(n)]^2}}/3
中令n趋向无穷,得：
A=[2A+a/(A^2)]/3
解得：A为a的立方根
这样就得到了求一个大于0的数的立方根的迭代公式,而对小于0的数,求出它绝对值的立方根后加上负号就行了,对于0,立方根自然就是0了.