Question

已知点P（t22，t）（|t|＞2），过P作圆A：（x-1）2+y2=1的两条切线分别切圆于E，F两点，交y轴于B．C两

Answer 1

解题思路：（1）根据题意得到P、E、A、F四点共圆，表示出以AP为直径圆的方程，与已知圆A方程相减求出公共弦EF的方程即可；

（2）在直角三角形AEP中，利用勾股定理表示出PE，再由切线长定理得到PE=PF，BO=BE，CO=CF，用两种方法分别表示出三角形PBC的面积，两者相等表示出BC即可；

（3）设m=t²-4，代入表示出的三角形PBC中，整理后利用基本不等式求出面积的最小值，以及此时t的值，即可确定出此时P的坐标．

（1）由题意可得，P、E、A、F四点共圆，且以AP为直径，此时圆方程为（x-1）（x-8）+y（y-4）=0，

∵EF是圆（x-1）²+y²=1与圆（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦，

∴把这两个圆的方程相减，得到公共弦EF所在的直线的方程为7x+4y-8=0；

（2）由题意得：PE=

PA2−1=

(

t2

2−1)2+t2−1=

t2

2，

由切线长知识PE=PF，BO=BE，CO=CF，

∴S_△PBC=[1/2]BC•P_横坐标=[1/4]BC•t²，

又S_△PBC=[1/2]（BO+CO+BE+CF+PE+PF）r=[1/2]（2BC+2PE）r=BC+[1/2]t²，

∴[1/4]BC•t²=BC+[1/2]t²，

解得：BC=

2t2

t2−4；

（3）设m=t²-4，S_△PBC=[1/2]BC•P_横坐标=[1/4]•

2t2

t2−4•t²=[1/2]

(m+4)2

m=[1/2]（m+[16/m]+8）≥8，

当且仅当m=4，即t=±2

点评：

本题考点： 直线与圆的位置关系；三角形的面积公式；直线的一般式方程；点到直线的距离公式．

考点点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积公式，直线的一般式方程，以及点到直线的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键．