Question

对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）

Answer 1

解题思路：（1）根据f（x）是“（a，b）型函数”的定义，判断f₁（x）=x中是否存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b对定义域中的每一个x都成立，即可得到答案；

（2）根据函数f₂（x）=tanx是“（a，b）型函数”，即可得到f（a+x）•f（a-x）=b对定义域中的每一个x都成立，即可得到答案；

（3）根据函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4），根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分别求出g（x）在[0，1]和[0，2]上的值域，列出不等式组，求解即可得到m的取值范围．

（1）f₁（x）=x不是“（a，b）型函数”，

∵f₁（x）=x，

∴f₁（a+x）=a+x，f₁（a-x）=a-x，

∴f₁（a+x）•f₁（a-x）=（a+x）（a-x）=b，

即a²-x²=b，

∴不存在实数对（a，b）使得a²-x²=b对定义域中的每一个x都成立，

∴f₁（x）=x不是“（a，b）型函数”；

（2）∵函数f₂（x）=tanx是“（a，b）型函数”，

∴tan（a+x）tan（a-x）=b．

即[tan⁡a+tan⁡x/1−tan⁡atan⁡x⋅

tan⁡a−tan⁡x

1+tan⁡atan⁡x＝

tan⁡2a−tan⁡2x

1−tan⁡2atan⁡2x]，

∴当tan²a=1，即tana=±1时，[tan⁡a+tan⁡x/1−tan⁡atan⁡x⋅

tan⁡a−tan⁡x

1+tan⁡atan⁡x＝

tan⁡2a−tan⁡2x

1−tan⁡2atan⁡2x]=1=b，

此时a=±

π

4+kπ，b=1，

∴满足条件的实数对（a，b）所组成的集合（±

π

4+kπ，1），k∈Z．

（3）∵函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4），

∴g（1+x）g（1-x）=4，

∴当x∈[1，2]时，g(x)＝

4

g(2−x)，其中2-x∈[0，1]，

又∵x∈[0，1]时，g（x）=x²+m（1-x）+1=x²-mx+m+1，其对称轴方程为x=[m/2]，

①当[m/2]＞1，即m＞2时，g（x）在[0，1]上的值域为[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，

∴g（x）在[0，2]上的值域为[2，m+1]∪[

4

m+1，2]＝[

4

m+1，m+1]，

由题意，得

m+1≤4

4

m+1≥1，∴2＜m≤3；

②当[1/2≤

m

2≤1，即1≤m≤2时，g（x）的值域为[g（

m

2]），g（0）]，

即[m+1−

m2

4，m+1]∪[

4

m+1，

4

m+1−

m2

4]，

由题意，得

4

m+1−

m2

4≤4

m+1≤4且

m+1−

m2

4≥1

4

m+1≥1，解得1≤m≤2；

③当0＜

m

2≤

1

2，即0＜m≤1时，g（x）的值域为[g（[m/2]），g（1）]，

即[m+1−

m2

4，2]，

∴g（x）在[0，2]上的值域为[m+1−

m2

4，2]∪[2，

4

m+1−

m2

4]＝[m+1−

m2

4，

4

m+1−

m2

4]，

由题意，得

m+1−

m2

4≥1

4

m+1−

m2

4≤4，解得0＜m≤1．

综合①②③，所求m的取值范围是0＜m≤3．

点评：

本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查了函数与方程的综合应用．函数的零点与方程根的关系．函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．解题的关键是将方程问题转化成函数的问题进行求解．难度较大．