Question

在△ABC中，∠ACB=90°，CB=a，CA=b，AB=c点P是BC上异于B、C的任一点，过P作AB的垂线与边AB及A

Answer 1

解题思路：（1）由题中条件可得Rt△BPR∽△BAC，Rt△QPC∽Rt△BAC由对应线段成比例可得线段BR、PR、QC的值，进而可求其面积；

（2）若使其面积之和最小，则只需（a-x）²=0，即x=a即可．

（1）由题中条件可得Rt△BPR∽△BAC，∴[BP/AB]=[BR/BC]=[PR/AC]，即[a−x/c]=[BR/a]=[PR/b]，BR=

a(a−x)

c，PR=

b(a−x)

c，

同理Rt△QPC∽Rt△BAC，∴[QC/BC]=[PC/AC]，即[QC/a]=[x/b]，QC=[ax/b]，

∴S₁+S₂=[1/2]PC•QC+[1/2]BR•PR=[1/2]（x•[ax/b]+

ab(a−x)2

c2）

（2）S₁+S₂=[1/2]PC•QC+[1/2]BR•PR=[1/2]（x•[ax/b]+

ab(a−x)2

c2）=

acx2+ab2(a−x)2

2bc2，

若使S₁+S₂取最小值，则有（a-x）²=0，即x=a，即点P运动到点B时，其值最小，

S₁+S₂=

acx2

2bc=

a3

2b．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；三角形的面积．

考点点评： 本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及三角形面积的求解，能够在掌握的基础上熟练掌握．