Question

（2013•天津一模）已知等差数列{an}中a1=1，公差d＞0，前n项和为Sn，且S1，S3-S2，S5-S3成等比数

Answer 1

解题思路：（I）利用等差数列的通项公式即可得到S₁=a₁=1，S₃-S₂=a₃=1+2d，S₅-S₃=a₄+a₅=2+7d，再利用等比数列的定义及S₁，S₃-S₂，S₅-S₃成等比数列，可得（1+2d）²=1×（2+7d），解出d，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；

（II）利用（I）的结论和裂项求和即可证明．

（Ⅰ）由题意S₁=a₁=1，S₃-S₂=a₃=1+2d，S₅-S₃=a₄+a₅=2+7d，

∵S₁，S₃-S₂，S₅-S₃成等比数列，

∴（1+2d）²=1×（2+7d），

解得d＝−

1

4（舍去）或d=1

∴a_n=n，

Sn＝

n(n+1)

2．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得bn＝

1

Sn＝

2

n(n+1)＝2(

1

n−

1

n+1)

∴b₁+b₂+…+b_n=2[(1−

1

2)+(

1

2−

1

3)+…+(

1

n−

1

n+1)]=2(1−

1

n+1)＜2

即b₁+b₂+…+b_n＜2．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；数列与不等式的综合．

考点点评： 熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式、裂项求和是解题的关键．