函数是中学数学的一个重要概念,它渗透在数学的各部分内容中,一直是高考的热点、重点内容.函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数关系,运用函数的知识,使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化,联系和发展角度拓宽解题思路
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和函数有必然联系的是方程,方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通过方程进行研究,要确定变化过程的某些量,往往要转化为求出这些量满足的方程,希望通过方程(组)来求得这些量.这就是方程的思想,方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.
就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.
比如,对于满足0≤p≤4的一切实数,不等式x.x2＋px＞4x＋p-3恒成立,试求x的取值范围一例,我们习惯上把x当作自变量,构造函数y＝x2＋(p-4)x＋3-p,于是问题转化为：当p∈[0,4]时,y＞0恒成立,求x的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理,可想而知,这是相当复杂的.
如果把p看作自变量,x视为参数,构造函数y＝(x-1)p＋(x2-4x＋3),则y是p的一次函数,就非常简单.即令f(p)＝(x-1)p＋(x2-4x＋3).函数f(p)的图象是一条线段,要使f(p)＞0恒成立,当且仅当f(0)＞0,且f(4)＞0,解这个不等式组即可求得x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,＋∞).本题看上去是一个不等式问题,但是经过等价转化,我们把它化归为一个非常简单的一次函数,并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的.又如,
已知(3x4＋7x3＋4x2-7x-5)5·（3x4-7x3＋4x2＋7x-5)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a40x40,试求a0＋a2＋a4＋…＋a40的值.此题的第一感觉,可能会联想到二项式定理,但是仔细观察会发现左边并不是某两个二项式的展开式.但比较一下对应项的系数,不难发现,它们的偶次幂项的系数都相等,而x的奇次幂项的系数互为相反数,联想到函数的奇偶性便不难解决.
在函数的学习和复习中,要做到熟练掌握基础知识,充分理解各知识点间的内在联系,如数列中的an、Sn都可以看作是n的函数而应用函数思想以获得新的解法.要总结、归纳运用函数的观点和方法解决常见数学问题的解题规律.在解题中,充分、合理地运用函数与方程的思想方法,会产生意想不到的效果.
数学里的函数与编程里的函数在本质上是一致的.函数是一个透明与不透明范畴的概念,有了函数,就可以在只知道要实现的功能的情况下调用该函数,而不需要知道具体的映射关系.要解决这个映射关系就是这个函数内部所要做的.
方程是建立等价的关系,由这个或这些等价关系做出进一步推断,与函数有质的区别.