(1)连接BF,则BF为∠ABC的角平分线(三条角平分线必定交与一点)
现在证明该结论:
由点F分别向AB边、AC边、BC边引垂线,垂足分别为X、Y、Z
∵AF为∠BAC的角平分线,则FX=FY (平分线上的点到角的两边距离相等)
同理FY=FZ,∴FX=FZ
即BF为∠ABC的角平分线(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)
∴∠EBF=DBF=∠ABC/2=30°
∵∠EFD=∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=180°-(1/2)(∠BAC+∠BCA)=180°-(1/2)[180°-∠ABC]=180°-(1/2)(180°-60°)=120°
∵∠ABC+∠EFD=60°+120°=180°
∴点B、E、D、F四点共圆
又∵∠EBF=DBF
∴EF=FD(等角所对的弦相等)
(2)EF=FD 证明同(1)
PS:如果在(1)中一个三角形为直角的情况下,可以由角平分线定理、勾股定理求出EF和FD的具体值,当然啦,他们是相等的.