(2013•沙市区三模)如图,AB为⊙O的直径,点C是⊙O上的一点,CD⊥AB,垂足为点D,CF⊥AF,且CF=CD,A

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  • 解题思路:(1)连接O根据角平分线性质得出∠FAC=∠BAC,根据垂径定理得出OC⊥BE,求出∠CFE=∠FEB=∠ENC=90°,求出∠OCF=90°,根据切线判定推出即可.

    (2)求出AC和BC,证△BCM和△CAB相似,得出比例式,求出CM,即可得出答案.

    (1)证明:

    连接OC交BE于N,

    ∵CF⊥AF,CD⊥AB,CF=CD,

    ∴∠FAC=∠DAC,

    ∴弧EC=弧BC,

    ∴OC⊥BE,

    ∵AB是直径,

    ∴∠EFC=∠FEN=∠ENC=90°,

    ∴∠FCO=360°-90°-90°-90°=90°,

    即OC⊥CF,

    ∵OC为半径,

    ∴CF是⊙O的切线.

    (2)∵AB是直径,CD⊥AB,

    ∴∠ACB=∠CDB=90°,

    ∴∠CAB+∠CBA=90°,∠BCD+∠CBA=90°,

    ∴∠BCD=∠CAB,

    ∵AB=6,cos∠BCD=[5/6],

    ∴cos∠CAB=[AC/AB]=[5/6],

    ∴AC=5,

    由勾股定理得:BC=

    62−52=

    11,

    ∵弧CE=弧BC,

    ∴∠EAC=∠CBE=∠CAB,

    即∠CBM=∠CAB,

    ∵∠ACB=∠ACB,

    ∴△CAB∽△CBM,

    ∴[BC/AC]=[CM/BC],

    ∵BC=

    11,AC=5,

    ∴CM=[11/5],

    ∴AM=AC-CM=5-[11/5]=[14/5].

    点评:

    本题考点: 切线的判定.

    考点点评: 本题考查了切线的判定,角平分线性质,相似三角形的性质和判定,垂径定理,圆周角定理的应用,主要考查学生的推理能力,综合性比较强.