在三角形ABC中,角C等于90度,AC=BC,BD为角平分线,AE垂直BD交BD的延长线于E,求证:AE=1/2BD.

1个回答

  • 延长AE,交BC的延长线于点F,

    ∵BD平分∠ABC,

    ∴∠ABE=∠FBE,

    又∵BE=BE,

    ∠BEA=∠BEF=90度,

    ∴△ABE≌△FBE(ASA)

    ∴AE=FE(全等三角形的对应边相等)

    ∴AE=1/2AF;

    又∵∠FAC+∠EDA=90度,

    ∠CBD+∠CDB=90度,

    而∠EDA=∠CDB(对顶角相等)

    ∴∠FAC=∠CBD(等角的余角相等)

    在△ACF与△BCD中

    ∠FAC=∠CBD

    AC=BC

    ∠ACF=∠BCD=90度,

    ∴△ACF≌△BCD(ASA)

    ∴AF=BD,

    ∴AE=1/2AF=1/2BD.