（1）直接套用公式可得：
f（x）=f（0）+f′（0）x+[1/2!f′(0)+… +
1
n!f(n)(0)+
f(n+1)(ξ)
(n+1)]，
其中 ξ 在0和x之间．
（2）
由（1）可得：
∫a?af(x)dx=
∫a?af′(0)xdx+
∫a?a
x2
x!f″(ξ)dx
=
∫a?a
x2
x!f″(ξ)dx，
因为f（x）在[-a，a]上具有二阶联系偏导数
∫a?af′(0)xdx，
故f″（x）具有最大值和最小值，
设f″（x）最大值为M，最小值为m，
则 m≤f″（ξ）≤M，
所以：
[m/2
∫ a?ax2dx ≤
∫ a?af(x)dx=
1
2
∫ a?ax2f″(ξ)dx≤
M
2
∫a?ax2dx，
即：
ma3
3]≤
∫a?af(x)dx≤
Ma3
3，
即：m≤
3
a3
∫ a?af(x)dx≤M，
因为 f″（x）连续，
由连续函数的介值定理可得，至少存在一点η∈[-a，a]，使得：
f″（η）=
3
a3
∫ a?af(x)dx，
即：a3f″(η) ＝ 3
∫ a?af(x)dx．