Question

已知函数f（x）=x 3 -2x 2 +1

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=3x ²-4x，由f′（x）=0得x ₁=0，x ₂=

4

3

当x在[-1，2]上变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表

x -1 （-1，0） 0 （0，） （，2） 2

f′（x） + 0 - 0 +

f（x） -2 增函数 1 减函数 - 增函数 1 由表格可知，函数f（x）在[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2．

（II）由（I）知：f′（x）=3x ²-4x，

∴ f / (x)∈[-

4

3 ，+∞) ，即曲线上的点P处的切线的斜率的取值范围是 [-

4

3 ，+∞)

∵直线2x+y+3=0的斜率为-2，且-2∉ [-

4

3 ，+∞)

∴曲线上不存在点P，使得P处的切线平行于直线2x+y+3=0．