Question

已知函数 f(x)= a(x-1) x 2 ，其中a＞0．

Answer 1

（Ⅰ）因为函数f（x）=

a(x-1)

x 2 ，

∴f′（x）=

[a(x-1)]′• x 2 -( x 2 )′a(x-1)

x 4 =

a(2-x)

x 3 ，f′（x）＞0⇒0＜x＜2，

f′（x）＜0⇒x＜0，或x＞2，

故函数在（0，2）上递增，在（-∞，0）和（2，+∞）上递减．

（Ⅱ）设切点为（x，y），

由切线斜率k=1=

a(2-x)

x 3 ，⇒x ³=-ax+2a，①

由x-y-1=x-

a(x-1)

x 2 -1=0⇒（x ²-a）（x-1）=0⇒x=1，x=±

a ．

把x=1代入①得a=1，

把x=

a 代入①得a=1，

把x=-

a 代入①得a=-1（舍去），．

故所求实数a的值为1．

（Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x ²f（x）=xlnx-a（x-1），

∴g′（x）=lnx+1-a，解lnx+1-a=0得x=e ^a-1，

故g（x）在区间（e ^a-1，+∞）上递增，在区间（0，e ^a-1）上递减，

①当e ^a-1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；

②当1＜e ^a-1＜e时，即0＜a＜2时，g（x）的最大值为g（e ^a-1）=a-e ^a-1；

③当e ^a-1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a-ae．