Question

设A是非零的幂零矩阵,即A不是零矩阵且存在自然数m使得A^m=0证明:A的特征值全为零且A不可对角化

Answer 1

设a是A的特征值

则 a^m 是 A^m 的特征值 (定理)

而 A^m = 0,零矩阵只有0特征值

所以 a^m = 0

所以 a = 0.

即 A 的特征值只有0.

又因为 A≠0

所以 r(A)>=1

所以 AX=0 的基础解系所含向量的个数 n-r(A)