已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b2x+1+ a是奇函数.

1个回答

  • 解题思路:(1)利用特殊值:f(0)=0且f(-1)=-f(1),建立关于a、b的等式并解得a=2,b=1,再将其代入函数表达式加以检验即可;

    (2)根据单调性的定义,设x1<x2,将f(x1)与f(x2)作差,再通分整理,可得这个差是一个正数,从而得到f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-∞,+∞)上是单调减函数;

    (3)根据函数的单调性和奇偶性,将原不等式恒成立转化为关于t的一元二次不等式3t2-2t-k>0恒成立,再利用一元二次不等式解法结合根的判别式,可求出k的取值范围.

    (1)因为f(x)是奇函数,函数的定义域为R,所以f(0)=

    −20+b

    2 + a=0,可得b=1,

    ∴f(x)=

    −2x+1

    2x+1+ a,取f(-1)=-f(1)得

    −2−1+1

    20+ a=−

    −21+1

    22+ a,解之得a=2

    因此,f(x)=

    −2x+1

    2x+1+ 2,满足f(−x)=

    −2−x+1

    2−x+1+ 2=-

    −2x+1

    2x+1+ 2=-f(x),符合题意

    所以a=2,b=1

    (2)由(1)得,f(x)=

    −2x+1

    2x+1+ 2=−

    1

    2+

    2

    2x+1,设x1<x2,则

    f(x1)-f(x2)=−

    1

    2+

    2

    2x1+1-(−

    1

    2+

    2

    2x2+1)=

    2(2x2−2x1)

    (2x1+1)(2x2+1)

    ∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0,

    ∴2x2-2x1>0,2

    点评:

    本题考点: 指数函数综合题.

    考点点评: 本题给出一个含有指数式的分式形式的函数,叫我们讨论它的单调性与奇偶性,着重考查了函数奇偶性与单调性的综合应用,考查了一元二次不等式恒成立问题等知识,属于中档题.