解题思路:(1)利用特殊值:f(0)=0且f(-1)=-f(1),建立关于a、b的等式并解得a=2,b=1,再将其代入函数表达式加以检验即可;
(2)根据单调性的定义,设x1<x2,将f(x1)与f(x2)作差,再通分整理,可得这个差是一个正数,从而得到f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-∞,+∞)上是单调减函数;
(3)根据函数的单调性和奇偶性,将原不等式恒成立转化为关于t的一元二次不等式3t2-2t-k>0恒成立,再利用一元二次不等式解法结合根的判别式,可求出k的取值范围.
(1)因为f(x)是奇函数,函数的定义域为R,所以f(0)=
−20+b
2 + a=0,可得b=1,
∴f(x)=
−2x+1
2x+1+ a,取f(-1)=-f(1)得
−2−1+1
20+ a=−
−21+1
22+ a,解之得a=2
因此,f(x)=
−2x+1
2x+1+ 2,满足f(−x)=
−2−x+1
2−x+1+ 2=-
−2x+1
2x+1+ 2=-f(x),符合题意
所以a=2,b=1
(2)由(1)得,f(x)=
−2x+1
2x+1+ 2=−
1
2+
2
2x+1,设x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=−
1
2+
2
2x1+1-(−
1
2+
2
2x2+1)=
2(2x2−2x1)
(2x1+1)(2x2+1)
∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0,
∴2x2-2x1>0,2
点评:
本题考点: 指数函数综合题.
考点点评: 本题给出一个含有指数式的分式形式的函数,叫我们讨论它的单调性与奇偶性,着重考查了函数奇偶性与单调性的综合应用,考查了一元二次不等式恒成立问题等知识,属于中档题.