Question

（2014•宜春模拟）已知函数f（x）=xn+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若函数f（x）的图象在点P处的切

Answer 1

解题思路：由题意可得P（1，1），f′（x）=（n+1）xⁿ，根据导数的几何意义可求切线的斜率k，进而可求切线方程，切线方程，在方程中，令y=0可得，x_n=[n/n+1]，利用累乘可求x₁x₂…x₂₀₁₃=[1/2]•[2/3]•[3/4]•…•[2013/2014]=[1/2014]，代入可求出答案．

由题意可得P（1，1）

对函数f（x）=xⁿ⁺¹求导可得，f′（x）=（n+1）xⁿ

∴y=f（x）在点P处的切线斜率K=f′（1）=n+1，切线方程为y-1=（n+1）（x-1）

令y=0可得，x_n=[n/n+1]．

∴x₁x₂…x₂₀₁₃=[1/2]•[2/3]•[3/4]•…•[2013/2014]=[1/2014]，

∴log₂₀₁₄x₁+log₂₀₁₄x₂+log₂₀₁₄x₃+…log₂₀₁₄x₂₀₁₃=log₂₀₁₄（x₁x₂…x₂₀₁₃）=log₂₀₁₄[1/2014]=-1．

故答案为：-1．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查了导数的几何意义的应用，累乘及对数的运算性质的综合应用，还考查了基本运算的能力．