Question

已知二次函数f（x）=x 2 -ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在

Answer 1

（Ⅰ）∵不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素

∴△=a ²-4a=0解得a=0或a=4

当a=0时函数f（x）=x ²在（0，+∞）递增，不满足条件②

当a=4时函数f（x）=x ²-4x+4在（0，2）上递减，满足条件②

综上得a=4，即f（x）=x ²-4x+4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知S _n=n ²-4n+4=（n-2） ²

当n=1时，a ₁=S ₁=1

当n≥2时a _n=S _n-S _n-1=（n-2） ²-（n-3） ²=2n-5

∴ a n =

1，(n=1)

2n-5．(n≥2)

由题设可得 b n =

-3，(n=1)

1-

4

2n-5 ．(n≥2)

∵b ₁=-3＜0，b ₂=1+4=5＞0，b ₃=-3＜0，

∴i=1，i=2都满足b _i•b _i+1＜0

∵当n≥3时， b n+1 - b n =

4

2n-5 -

4

2n-3 =

8

(2n-5)(2n-3) ＞0

即当n≥3时，数列{b _n}递增，

∵ b 4 =-

1

3 ＜0，由 1-

4

2n-5 ＞0 ⇒n≥5，

可知i=4满足b _i•b _i+1＜0

∴数列{b _n}的变号数为3．