已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围.

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  • 解题思路:根据对数函数的性质进行解题,在解题过程中注意对a要分a>1时,|f(x)|=f(x)=logax在[3,+∞)上为增函数和0<a<1时f(x)|=-f(x)=-logax在[3,+∞)上为增函数两种情况进行讨论.

    当a>1时,对于任意x∈[3,+∞),都有f(x)>0.

    所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在[3,+∞)上为增函数,

    ∴对于任意x∈[3,+∞),有f(x)≥loga3.

    因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立.

    只要loga3≥1=logaa即可,∴1<a≤3.

    当0<a<1时,对于x∈[3,+∞),有f(x)<0,

    ∴|f(x)|=-f(x).

    ∵f(x)=logax在[3,+∞)上为减函数,

    ∴-f(x)在[3,+∞)上为增函数.

    ∴对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|=-f(x)≥-loga3.

    因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立,

    只要-loga3≥1成立即可,

    ∴loga3≤-1=loga[1/a],即[1/a]≤3,∴[1/3]≤a<1.

    综上,使|f(x)|≥1对任意x∈[3,+∞)都成立的a的取值范围是:(1,3]∪[[1/3],1).

    点评:

    本题考点: 对数函数图象与性质的综合应用;函数恒成立问题.

    考点点评: 在函数f(x)=logax(a>0,a≠1)中,对a要分a>1和0<a<1两种情况进行讨论,以避免丢解.