Question

已知数列{an}的通项an=[1/3][2n-（-1）n]，bn=anan+1，设Sn是数列{an}的前n项和．若bn-

Answer 1

解题思路：先表示出b_n，S_n，分n为正奇数，正偶数两种情况进行讨论，从b_n-λS_n＞0中分离出参数λ后转化为求数列的最小值即可，借助数列的单调性可求最值．

由a_n=[1/3][2ⁿ-（-1）ⁿ]，得b_n=a_na_n+1=[1/9[2n−(−1)n][2n+1−(−1)n+1]，

S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

1

3]{（2+2²+2³+…+2ⁿ）-[（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ]}

=[1/3[2n+1−2−

(−1)n−1

2]，

①当n为正奇数时，b_n-λS_n=

1

9(2n+1)(2n+1−1)-

1

3λ（2ⁿ⁺¹-1）＞0对任意n∈N^*都成立，

因为2ⁿ⁺¹-1＞0，所以

1

9(2n+1)-

λ

3]＞0，即λ＜

1

3(2n+1)对任意正奇数n都成立，

又因为数列{[1/3(2n+1)}递增，

所以当n=1时，

1

3(2n+1)有最小值1，所以λ＜1；

②当n为正偶数时，b_n-λS_n=

1

9(2n−1)(2n+1+1)-

1

3λ(2n+1−2)＞0，即

1

9(2n−1)(2n+1+1)−

2

3λ(2n−1)＞0对任意n∈N*都成立，

又因为2ⁿ-1＞0，所以

1

9(2n+1+1)−

2

3λ＞0，即λ＜

1

6]（2ⁿ⁺¹+1）对任意正偶数n都成立，

又因为数列{

1

6(2n+1+1)}递增，

所以当n=2时，

1

6(2n+1+1)有最小值

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列求和、数列与不等式的综合，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，本题运算量较大．