Question

是否存在常数abc,使(1/n)^3+(2/n)^3+...+(n/n)^3

Answer 1

有个定理,很好用

1^3+2^3+.+N^3=(1+2+.+N)^2

所以

(1/N)^3+(2/N)^3+……+(N/N)^3

=(1^3+2^3+.+N^3)/N^3

=(1+2+.+N)^2 /N^3

=[N(N+1)/2]^2 /N^3

=(N+1)^2/4N

因为(1/N)^3+(2/N)^3+……+(N/N)^3=(AN^2+BN+C)/N

所以(N+1)^2/4N=(AN^2+BN+C)/N

所以(N+1)^2/4=AN^2+BN+C

左边展开后,对照系数得到A=1/4,B=1/2,C=1/4