解题思路:(1)先对函数f(x)进行求导判断其单调性后可知f(-1)=-[3/2]a,f(1)=2-[3/2]a,再根据函数在区间[-1,1]上的最大值为1,最小值为-2可得答案.
(2)先写出函数g(x)的解析式,然后求导数,令导函数在区间[-2,2]小于等于0恒成立即可得到答案.
(1)f′(x)=3x2-3ax,
令f′(x)=0,得x1=0,x2=a,
∵a>1,
∴f(x)在[-1,0]上为增函数,在[0,1]上为减函数.
∴f(0)=b=1,
∵f(-1)=-[3/2]a,f(1)=2-[3/2]a,
∴f(-1)<f(1),
∴f(-1)=-[3/2]a=-2,a=[4/3].
∴f(x)=x3-2x2+1.
(2)g(x)=x3-2x2-mx+1,g′(x)=3x2-4x-m.
由g(x)在[-2,2]上为减函数,知g′(x)≤0在x∈[-2,2]上恒成立.
∴
g′(−2)≤0
g′(2)≤0,即
20−m≤0
4−m≤0
∴m≥20.
∴实数m的取值范围是m≥20.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系,即当导数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.