已知函数f(x)=x3-[3/2]ax2+b(a,b为实数,且a>1)在区间[-1,1]上的最大值为1,最小值为-2.

4个回答

  • 解题思路:(1)先对函数f(x)进行求导判断其单调性后可知f(-1)=-[3/2]a,f(1)=2-[3/2]a,再根据函数在区间[-1,1]上的最大值为1,最小值为-2可得答案.

    (2)先写出函数g(x)的解析式,然后求导数,令导函数在区间[-2,2]小于等于0恒成立即可得到答案.

    (1)f′(x)=3x2-3ax,

    令f′(x)=0,得x1=0,x2=a,

    ∵a>1,

    ∴f(x)在[-1,0]上为增函数,在[0,1]上为减函数.

    ∴f(0)=b=1,

    ∵f(-1)=-[3/2]a,f(1)=2-[3/2]a,

    ∴f(-1)<f(1),

    ∴f(-1)=-[3/2]a=-2,a=[4/3].

    ∴f(x)=x3-2x2+1.

    (2)g(x)=x3-2x2-mx+1,g′(x)=3x2-4x-m.

    由g(x)在[-2,2]上为减函数,知g′(x)≤0在x∈[-2,2]上恒成立.

    g′(−2)≤0

    g′(2)≤0,即

    20−m≤0

    4−m≤0

    ∴m≥20.

    ∴实数m的取值范围是m≥20.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系,即当导数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.