解题思路:(1)由条件可以得出∠ABE=∠CBF,再根据等边三角形的性质就可以证明△BAE≌△BCF,从而可以得出AE=CF.
(2)作BH⊥CG于H,由第一问的结论可以得出∠BCF=∠BAD=30°,得出BH=4,由勾股定理就可以得出HC的值,在△GBH中由勾股定理可以得出GH的值,从而可以求出CG的值.
(1)证明:∵△ABC、△BEF都是等边三角形,
∴AB=BC=AC,BE=EF=BF,∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠EBF=∠BEF=∠BFE=60°,
∴∠ABC-∠EBD=∠EBF-∠EBD,
∴∠ABE=∠CBF,
在△BAE和△BCF中
AB=BC
∠ABE=∠CBF
BE=BF,
∴△BAE≌△BCF,
∴AE=CF;
(2)作BH⊥CG于H,
∴∠BHC=∠BHG=90°
∵AD是∠BAC的角平分线,
∴∠BAD=30°,
∵由(1)知△ABE≌△CBF,
∴∠BCF=∠BAD=30°,
∴BH=[1/2]BC=4,在Rt△BHC和Rt△GHB中,由勾股定理,得
∴HC=4
3,GH=3,
∴CG=3+4
3,
当G在G′时,在Rt△BHG′由勾股定理可以求出
G′H=3,
∴CG′=4
3-3,
∴CG的值为:3+4
3或4
3-3.
点评:
本题考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;勾股定理.
考点点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理的运用.