Question

实数a，b，c满足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1．求最大的实数k，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立．

Answer 1

不等式|a+b|≥4|c|对满足题设条件的实数a，b，c恒成立．由已知条件知，a，b，c都不等于0，且c＞0．

因为abc=1，有ab=

1

c ＞0；

又因为ab+bc+ca=0，

所以a+b=-

1

c 2 ＜0，

所以a≤b＜0．

由一元二次方程根与系数的关系知，a，b是一元二次方程x ²+

1

c 2 x+

1

c =0的两个实数根，

于是△=

1

c 4 -

4

c ≥0，

所以c ³≤

1

4 ．

因此|a+b|=-（a+b）=

1

c 2 ≥4c=4|c|，不等式|a+b|≥4|c|对满足题设条件的实数a，b，c恒成立，

所以k≤4，最大的实数k为4．