圆与向量已知定点A(0,1)、B(0,-1)、C(1,0),动点P满足向量AP*向量BP=K*(绝对值向量PC)^2.当

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  • 设P(x,y)

    由:向量AP 点乘 向量BP = K,K=(向量PC)²

    得:

    (x,y-1)(x,y+1)=(1-x,-y)²

    x²+y²-1=(1-x)²+y²

    化简得:

    x=1,即动点P的方程.动点P是直线(过(1,0)点,平行于y轴)

    K=2时:

    x²+y²-1=2

    x²+y²=3

    此时,动点P轨迹是圆,圆心在坐标原点,半径√3.

    同时可得到x,y此时的定义域,都是(-√3,√3).

    目标函数f

    =|2(向量AP)+向量BP|

    =|2(x,y-1)+(x,y+1)|

    =|(3x,3y-1)|

    =√(9x²+9y²+1-6y)

    =√(27+1-6y) …… …… x²+y²=3代入

    =√(28-6y)

    所以此函数f的单调性仅跟变量y相关,是关于y的减函数.

    当y=√3时,f有最小值,f=√(28-6√3)

    当y=-√3时,f有最大值,f=√(28+6√3)