Question

（1）AB为圆O的直径CD⊥AB于P若PB=CD,AP=2,求CD和圆O的半径.

Answer 1

设圆O的半径为R,

连接AC,CB,AD,DB,CD⊥AB于P,∠CPA=∠DPA=90°,

AB为圆O的直径,∠ACB=∠ADB=90°,∠CPA=∠ACB,

∠CAP=∠CAB,

∠ACP=∠CPA-∠CAP=90°-∠CAP,

∠ABC=∠ACB-∠CAB=90°-∠CAB,

所以∠ACP=∠ABC,

直角三角形ACP∽直角三角形ACB,(AAA);

AP:AC=AC:AB,

AC²=AP*AB=2AB=2(2R)=4R,

同理得AD²=4R,

故AC=AD,CP²=AC²-AP²=4R-2,DP²=AD²-AP²=4R-2,

因此CP=DP=CD/2,

∠ACP=∠ABC=∠CBP,

∠CAP=∠CPA-∠ACP=90°-∠ACP,

∠BCP=∠CPB-∠CBP=90°-∠CBP,

故∠CAP=∠BCP,

直角三角形ACP∽直角三角形CBP,(AAA);

AP:CP=CP:PB,

2:CD/2=CD/2:CD,[PB=CD已知]

CD=8,

AB=AP+PB=AP+CD=2+8=10,

R=AB/2=10/2=5.