在棱长为2√3的正方体ABCD-A1B1C1D1中

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很简单,这其实并不是什么立体几何问题.向量PC1·PC=|PC1||PC|cos∠(PC1,PC)已知P到D1C1,DC的距离就是PC1,PC,这是因为D1C1,DC都垂直于面BCC1B1则,|PC1|+|PC|=4又知道正方体棱长是2√3则P的轨迹是以C1,C为焦点的椭圆的一部分,因为P不能到平面BCC1B1之外根据椭圆的图像性质,建立以CC1为x轴,CC1的中垂线为y轴的直角坐标系得到椭圆的曲线方程xamp;sup2;/4+yamp;sup2;=1,注意,该图像要去掉平面BCC1B1之外的部分根据在建立的坐标系的解析几何的知识当P在BC边上时,|PC|有最小值1/2当P在B1C1边上时,|PC|有最大值7/2即1/2≤|PC|≤7/2根据余弦定理cos∠(PC1,PC)=[|PC|amp;sup2;+|PC1|amp;sup2;-|CC1|amp;sup2;]/2|PC||PC1|=[|PC|amp;sup2;+|PC1|amp;sup2;-12]/2|PC||PC1|=[|PC|amp;sup2;+(4-|PC|)amp;sup2;-12]/2|PC||PC1|=[2|PC|amp;sup2;-8|PC|+4]/2|PC||PC1|从而向量PC1·PC=|PC1||PC|cos∠(PC1,PC)=|PC|amp;sup2;-4|PC|+2又知道1/2≤|PC|≤7/2故根据二次函数的最值知识当|PC|=2时,向量PC1·PC有最小值-2当|PC|=1/2或者7/2时,向量PC1·PC有最大值1/4所以向量PC1·PC的取值范围是[-2,1/4] 查看原帖