Question

矩阵A:m*n,B:n*s,证明 R(A)+R(B)

Answer 1

先约定一下记号.

以下用En表示n阶单位阵,用[X,Y;Z,W]表示分块矩阵:

X Y

Z W

考虑(n+m)*(n+s)分块矩阵C = [En,B;A,0].

可以证明:A,B各自的列极大线性无关组的所在列是线性无关的,因此r(C) ≥ r(A)+r(B).

取(n+m)*(n+m)分块矩阵P = [En,0;-A,Em],可验证PC = [En,B;0,-AB].

再取(n+s)*(n+s)分块矩阵Q = [En,-B;0,Es],可验证PCQ = [En,0;0,-AB].

而易得|P| = 1,|Q| = 1 (P,Q分别为下三角阵和上三角阵),故P,Q均可逆.

故r(C) = r(PCQ) = r(En)+r(-AB) = n+r(AB).

即有r(A)+r(B) ≤ n+r(AB).