正四棱锥底面是正方形,边长为a,一条侧棱在底面的射影是底面对角线的一半.即射影长为二分之根号二a.侧棱与射影成45度,由射影定理可知,棱、垂线、射影在一个面上,它们组成一个直角等腰三角形,故侧棱长a(用射影长乘以根号二),垂线长为二分之根号二a,此为正四棱锥的高.正四棱锥每个侧面都是同样的等腰三角形,此三角形底为a,腰长就是侧棱长,也为a,故其面积为（四分之根号三）*（a的平方）.
全面积由底面积+4*单个侧面积=（a的平方）+（根号三）*（a的平方）=（一加根号三）*（a的平方）
体积=（1/3）*底面积*高=（1/3）*（a的平方）*（二分之根号二a）=(六分之根号二)*(a的三次方）