Question

求证:如果一个四边形对焦互补,则它一定有外接圆.

Answer 1

用反证法好了

将已知条件表示为：四边形ABCD中,∠BAD+∠BCD=180,求证A、B、C、D四点共圆

证明：由于三角形一定有外接圆,所以设过A、B、D三点的圆为圆O

假设C不在圆O的圆周上

（1）C在圆O外

连接OC,交圆O于点E

由于四边形ABED为圆内接四边形,所以∠BAD+∠BED=180

∠BEO为△BEC外角,所以∠BEO＞∠BCO

∠DEO为△DEC外角,所以∠DEO＞∠DCO

因此∠BEO+∠DEO＞∠BCO+∠DCO,即∠BED＞∠BCD

因此∠BCD+∠BAD≠180

与已知条件矛盾,所以C在圆周上

（2）C在圆内

连接OC,延长OC交圆O于F

则∠BAD+∠BFD=180

∠BCO为△BCF外角,所以∠BCO＞∠BFO

∠DCO为△DCF外角,所以∠DCO＞∠DFO

因此∠BCO+∠DCO＞∠BFO+∠DFO,即∠BCD＞∠BFD

因此∠BCD+∠BAD≠180

与已知条件矛盾,所以C在圆周上