Question

已知函数f（x）=ex-x22−ax−1，（其中a∈R．无理数e=2.71828…）

Answer 1

（Ⅰ）a=-[1/2]时，函数f（x）=e^x-

x2

2+

1

2x−1，求导数可得f′（x）=e^x-x+[1/2]

∴f′（1）=e-[1/2]，f（1）=e-1

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（e-1）=（e-[1/2]）（x-1），即（e-[1/2]）x-y-[1/2]=0；

（Ⅱ）由f（x）≥0得ax≤e^x-[1/2]x²-1，因为x≥

1

2，所以a≤

ex−

1

2x2−1

x．

令g（x）=

ex−

1

2x2−1

x，则g′（x）=

ex(x−1)−

1

2x2+1

x2．

令h（x）=e^x（x-1）-[1/2]x²+1，所以h′（x）=x（e^x-1）．

因为x≥

1

2，所以h′（x）＞0，所以h（x）在[[1/2]，+∞）上单调增

所以h（x）≥h（[1/2]）=[7/8]-

1

2

e＞0

所以g′（x）＞0

∴g（x）在[[1/2]，+∞）上单调增

∴g（x）≥g（