Question

已知a1,a2,...,an∈R,求证n分之1（a1+a2...+an)²≤a1²+a2²+...+an²

Answer 1

最直接的办法是用Cauchy不等式.

(a1²+a2²+...+an²)(1²+1²+...+1²) ≥ (a1+a2+...+an)².

用均值不等式要麻烦点(相当于用均值不等式证明Cauchy不等式).

(a1²+a2²+...+an²)+n·a1² ≥ 2·|a1|·√(n(a1²+a2²+...+an²)),

(a1²+a2²+...+an²)+n·a2² ≥ 2·|a2|·√(n(a1²+a2²+...+an²)),

...

(a1²+a2²+...+an²)+n·an² ≥ 2·|an|·√(n(a1²+a2²+...+an²)),

相加即得2n(a1²+a2²+...+an²) ≥ 2(|a1|+|a2|+...+|an|)·√(n(a1²+a2²+...+an²)).

于是a1²+a2²+...+an² ≥ (|a1|+|a2|+...+|an|)²/n ≥ (a1+a2+...+an)²/n.